Análise linear e não linear com software de engenharia

Neste post, você verá as diferenças entre a análise linear e não linear e perceberá que há momentos ideais para usar um tipo de análise em comparação com outro. Descobriremos que negligenciar os efeitos não lineares pode resultar em erros de projeto sérios. Após analisar os exemplos obtidos com a prática diária em projetos, você verá como a análise não linear pode ajudar a evitar mudanças no projeto e criar produtos superiores.



INTRODUÇÃO


Na última década, a análise de elementos finitos (FEA) parou de ser considerada apenas uma ferramenta do analista e entrou no mundo prático da engenharia de projetos. O software CAD agora vem com recursos de FEA incorporados, e os engenheiros de projeto usam a FEA como uma ferramenta de projeto diária para auxiliar no processo de projeto de produtos.


Contudo, até recentemente, a maioria dos aplicativos de FEA utilizados pelos engenheiros de projeto estava limitada à análise linear. Essa análise linear faz uma aproximação aceitável de características reais para a maioria dos problemas detectados pelos engenheiros de projeto. Entretanto, problemas mais desafiadores, que exigem uma abordagem não linear, podem surgir ocasionalmente.


Historicamente, os engenheiros relutavam em usar a análise não linear, devido à sua complexa formulação de problema e à demora em encontrar uma solução. Isso está mudando agora, visto que o software de FEA não linear tem interfaces com CAD e ficou muito mais fácil de usar. Além disso, algoritmos de solução aprimorados e desktops potentes diminuíram os tempos de solução. Uma década atrás, os engenheiros reconheceram FEA como uma ferramenta de projeto valiosa. Agora, eles estão começando a perceber os benefícios e a entender melhor as contribuições do conceito FEA não linear ao processo de projeto.



Diferenças entre análise linear e não linear


O termo “rigidez” define a diferença fundamental entre análise linear e não linear. Rigidez é uma propriedade de uma peça ou montagem que caracteriza sua resposta para a carga aplicada. Vários fatores afetam a rigidez:


1. Forma: uma viga I tem rigidez diferente de uma viga de canal.




2. Material: uma viga de ferro é menos rígida do que uma viga de aço do mesmo tamanho.




3. Suporte a peças: uma viga com um suporte simples é menos rígida e apresentará mais deflexão do que a mesma viga com suporte incorporado, como mostrado na Figura 1.




Figura 1: A viga cantiléver (superior) tem menos rigidez do que a mesma viga suportada em ambas as extremidades (inferiores).


Quando uma estrutura é deformada sob uma carga, sua rigidez muda devido a um ou mais dos fatores listados acima. Se ela sofrer muita deformação, sua forma poderá mudar. Se o material alcançar seu limite de falha, suas propriedades mudarão.


Por outro lado, se a alteração da rigidez for pequena o suficiente, fará sentido considerar que nem as propriedades da forma nem as propriedades do material mudarão durante o processo de deformação. Essa pressuposição é o princípio fundamental de análises lineares.


Isso significa que, em todo o processo de deformação, o modelo analisado reteve qualquer rigidez que tinha em sua forma não deformada antes da carga. Independentemente de quanto o modelo deforma, se a carga é aplicada em uma etapa ou gradualmente e de até onde as tensões desenvolvidas como resposta a essa carga podem chegar, o modelo retém sua rigidez inicial.


Essa pressuposição simplifica bastante a formulação e a solução de problemas. Lembre-se da equação de FEA fundamental:


[F] = [K] * [d]

[F] é o vetor conhecido de cargas de nós

[K] é a matriz de rigidez conhecida

[d] é o vetor desconhecido de deslocamentos de nós

Essa equação de matriz descreve o comportamento de modelos de FEA. Ela contém um número muito grande de equações algébricas lineares, que variam de milhares para milhões, dependendo do tamanho do modelo. A matriz de rigidez [K] depende de geometria, propriedades do material e restrições. Sob a pressuposição da análise linear de que a rigidez do modelo nunca muda, essas equações são montadas e resolvidas apenas uma vez, sem necessidade de atualizar nada enquanto o modelo está deformando. Assim, a análise linear segue um caminho direto, desde a formulação do problema até a conclusão. Ela produz resultados em questão de segundos ou minutos, mesmo para modelos muito grandes.


Tudo muda quando se entra no mundo da análise não linear, porque ela requer que os engenheiros abandonem a pressuposição de rigidez constante. Em vez disso, a rigidez muda durante o processo de deformação, e a matriz de rigidez [K] deve ser atualizada à medida que o solver avança através de um processo de solução iterativo. Essas iterações aumentam o tempo necessário para a obtenção de resultados precisos.



Os diferentes tipos de comportamento não linear


Embora o processo de alteração da rigidez seja comum para todos os tipos de análises não lineares, a origem do comportamento não linear poderá ser diferente, sendo lógico classificar as análises não lineares com base na origem principal de não linearidade. Como não é possível indicar uma única causa de comportamento não linear em vários problemas, algumas análises talvez precisem considerar mais de um tipo de não linearidade.



Geometria não linear


Conforme já discutido, a análise não linear se torna necessária quando a rigidez da peça muda sob suas condições operacionais. Se as alterações na rigidez forem provenientes apenas de mudanças na forma, o comportamento não linear será definido como não linearidade geométrica.


Essas alterações na rigidez causadas por forma podem ocorrer quando uma peça tem deformações grandes visíveis a olho nu. Uma boa prática geralmente aceita sugere a realização de uma análise de geometria não linear caso as deformações sejam maiores que 1/20 avos da dimensão maior da peça. Outro fator importante é reconhecer que, em casos de deformações grandes, a direção da carga poderá mudar conforme o modelo é deformado. A maioria dos programas de FEA oferece duas opções para considerar essa mudança de direção: cargas seguidoras e não seguidoras.


Uma carga seguidora mantém sua direção em relação ao modelo deformado, como mostrado na Figura 3. Uma carga não seguidora mantém sua direção inicial.




Figura 3: A carga seguidora, ou não conservadora, altera sua direção durante o processo de deformação e continua normal em relação à viga deformada (esquerda). A carga não seguidora, ou conservadora, mantém sua direção original (direita).

Um vaso de pressão submetido a pressão muito alta que sofre uma mudança drástica de forma é outro bom exemplo da última situação. A carga de pressão sempre parece normal em relação às paredes do vaso de pressão. Embora a análise linear desse cenário considere que a forma do vaso não muda, a análise realista do vaso de pressão requer a análise de não linearidade geométrica com carga não conservadora (ou seguidora).


Podem ocorrer alterações na rigidez devido à forma, quando as deformações são pequenas. Um exemplo típico é uma membrana inicialmente plana que apresenta deflexão sob pressão (veja a Figura 4).




Figura 4: A análise de uma membrana plana sob carga de pressão requer uma análise de geometria não linear, embora a magnitude da deformação possa ser muito pequena.


Inicialmente, a membrana resiste à carga de pressão somente com rigidez de dobra. Após a carga de pressão ter causado alguma curvatura, a membrana deformada apresenta rigidez além da rigidez de dobra original (Figura 5). A deformação muda a rigidez da membrana, de forma que a membrana deformada seja muito mais rígida do que a membrana plana.


Alguns programas de FEA usam uma terminologia confusa e chamam qualquer análise de não linearidades geométricas de “análise de deformação grande”. Isso ignora a necessidade de executar análises não lineares de deformação menor.




Figura 5: Uma membrana plana responde à carga somente com rigidez de dobra. Devido à deformação, ela também adquire rigidez de membrana. Por isso, é muito mais rígida do que o previsto pela análise linear.



Material não linear


Se ocorrerem alterações de rigidez devido apenas às alterações nas propriedades do material sob condições operacionais, o problema estará na não linearidade do material. Um modelo de material linear considera que a tensão é proporcional ao esforço (Figura 6, abaixo). Isso significa que ele considera que quanto mais alta a carga aplicada, mais altas serão as tensões e a deformação, proporcionais às mudanças na carga. Ele também considera que nenhuma deformação permanente surgirá e que quando a carga tiver sido removida, o modelo sempre retornará à sua forma original.




Embora essa simplificação seja aceitável, se as cargas forem altas o suficiente para causar algumas deformações permanentes, como é o caso com a maioria dos plásticos, ou se os esforços forem muito altos (às vezes > 50%), como ocorre com borrachas e elastômeros, um modelo de material não linear deverá ser usado.


Devido às grandes diferenças no modo como vários tipos de materiais se comportam sob suas condições operacionais, os programas de FEA desenvolveram técnicas especializadas e modelos de materiais para simular esses comportamentos. A tabela abaixo mostra uma avaliação resumida de quais modelos de materiais funcionam melhor para um determinado problema.





Figura 7: A curva tensão-esforço de um modelo de material de plástico perfeitamente elástico. Com esse modelo de material, a magnitude de tensão máxima não pode exceder o limite de tensão do plástico (tensão de escoamento).



Quando se lida com a análise de um modelo de material de plástico perfeitamente elástico, ou seja, um material que perdeu toda a capacidade de retornar à sua forma original após a deformação, a tensão permanece constante acima de um determinado valor de esforço. Ela descreve o material de ferro fundido de um anteparo muito bem preso por oito parafusos.


A análise linear revela uma tensão máxima de von Mises de 614 MPa (89.600 psi) em comparação com um escoamento de material de 206 MPa (30.000 psi). Os resultados dessa análise linear são mostrados na Figura 8.




Figura 8: A solução de tensão linear de um anteparo mostra concentrações de tensão muito altas e localizadas.



Se a tensões excederem o escoamento, o anteparo começará a se desintegrar? Para descobrir, um modelo de material elastoplástico precisa ser usado para examinar quanto material será de plástico. A Figura 9 mostra a solução não linear, em que a tensão máxima é igual à tensão de escoamento. As zonas de plástico ainda são locais, indicando que o anteparo não se desintegrará. Evidentemente, um julgamento cuidadoso da engenharia é necessário para se decidir se esse projeto é aceitável.



Figura 9: Solução de tensão não linear obtida com um modelo de material de plástico perfeitamente elástico. As zonas vermelhas indicam o material se tornando plástico. A extensão das zonas de plástico é local.



A Figura 10 mostra a solução de tensão linear de um suporte de alumínio. A tensão máxima é 44 MPa (6.400 psi) e ignora o fato de que o material escoa a 28 Mpa (4.100 psi).



Figura 10: A solução de tensão linear de um suporte oco informa tensão acima do limite de tensão de escoamento do material.


A análise do material não linear responde por esses resultados, em que o material escoa quando a tensão máxima é mantida em 28 MPa (4.100 psi) (Figura 11). Os resultados de tensão não linear indicam que o suporte está muito próximo do colapso. As zonas de plástico ocupam quase toda a seção transversal do cantiléver, e um leve aumento da magnitude da carga fará com que a seção transversal fique completamente plástica e desenvolva uma articulação plástica que faz o suporte ruir.




Figura 11: A solução de tensão não linear mostra uma tensão máxima inferior à tensão de escoamento. A extensão das zonas plásticas indica que o suporte está muito perto de formar uma articulação plástica. Ele está no limite da capacidade de suporte de carga.



A modelagem do simples ato de pegar um clipe de papel de aço comum, “desdobrá‑lo” e “dobrá-lo” novamente requer a consideração de material e geometria não lineares. A Figura 12 mostra a forma deformada do clipe de papel usando um modelo de material de plástico perfeitamente elástico. A Figura 13 mostra tensões residuais após o clipe ter sido dobrado de volta na forma original.




Figura 12: A análise de dobra de clipe de papel requer material não linear e análise de geometria não linear. O clipe de papel na posição “desdobrado” mostra tensões plásticas

Figura 13: O clipe de papel dobrado de volta na sua posição original mostra tensões residuais.



Perda de estabilidade elástica (flambagem)


A rigidez em uma peça também muda devido às cargas aplicadas. Às vezes, as cargas, dependendo de como são aplicadas, podem aumentar a rigidez (cargas de tensão) ou diminuí-la (cargas compressivas). Por exemplo, uma corda apertada pode suportar o peso de um acrobata. Por outro lado, uma corda frouxa o fará cair.


Nos casos de carga compressiva, se as alterações na rigidez forem suficientes para fazer com que a rigidez da estrutura caia para zero, a flambagem ocorrerá, e a estrutura sofrerá uma rápida deformação. Ela se separará ou adquirirá uma nova rigidez em seu estado pós-flambagem. A análise de flambagem linear poderá ser usada para calcular a carga sob a qual uma estrutura flambará (carga de Euler). Entretanto, os resultados da análise de flambagem linear não são conservadores. Além disso, as idealizações no modelo de FEA podem resultar em uma carga de flambagem prevista muito mais alta para o modelo de FEA do que para a peça real. Dessa forma, os resultados da análise de flambagem linear devem ser usados cuidadosamente.


A flambagem não necessariamente é igual à falha irrecuperável, e a estrutura poderá ainda conseguir suportar a carga após a ocorrência da flambagem. A análise não linear explicará o comportamento pós-flambagem.


As Figuras 13 e 14 mostram um efeito snap-through. A peça retém seus recursos de suporte de carga, mesmo após a ocorrência da flambagem.




Figura 13




Figura 14: A análise do efeito snap-through requer análise não linear.



Tensões de contato e suportes não lineares


Se as condições de suporte, como contatos, mudarem durante a aplicação das cargas operacionais, a análise não linear será necessária.


As tensões de contato se desenvolvem entre duas superfícies de contato. Por isso, a área de contato e a rigidez da zona de contato são desconhecidas antes da solução. A Figura 15 mostra uma solução de tensão de um problema de contato típico. Embora a área de tensão de contato seja muito pequena em comparação com o tamanho do modelo geral, a rigidez em mudança da zona de contato utiliza análise não linear.




Figura 15: A análise de tensão de contato que modela as tensões que se desenvolvem entre duas esferas (somente uma das duas peças de contato é mostrada) pertence à categoria de análise com suportes não lineares.


A Figura 16 mostra um exemplo de suporte não lineares. O comprimento útil da viga e sua consequente rigidez dependem da quantidade de deformação da viga. Quando a viga entra em contato com o suporte, sua rigidez aumenta devido à queda de seu comprimento ativo.




Figura 16: Esse suporte (quando ativado) altera o comprimento útil da viga. Consequentemente, a rigidez da viga muda, e o problema requer análise não linear.

Análise de dinâmica não linear


A análise dinâmica responde por efeitos de inércia, amortecimento e cargas dinâmicas. Teste de queda, vibrações na estrutura do motor, desenvolvimento de air bag ou simulação de impacto requerem análise dinâmica. Mas, a análise dinâmica é linear ou não linear? As regras de qualificação são exatamente as mesmas da análise estática.


Se a rigidez do modelo não mudar significativamente sob a carga aplicada, a análise dinâmica linear será suficiente. Uma estrutura do motor com vibração ou um diapasão sofre pequenas deformações aproximadamente no ponto de equilíbrio e pode ser analisado com análise dinâmica linear.


Problemas como simulação de impacto, análise de implantação de air bag ou modelagem de um processo de estampagem em chapa requerem análise dinâmica não linear devido às grandes deformações (geometria não linear) e aos grandes esforços (material não linear) que ocorrem.


Entretanto, em muitos casos, as pressuposições lineares diferem muito da realidade e fornecem informações cruas ou erradas. Usar os resultados da análise linear para decidir se uma peça falhará sob suas cargas operacionais poderá ocasionar em um projeto com excessos.



Como a análise não linear nos ajuda a criar produtos superiores?


A natureza é não linear. Isso significa que a análise linear pode apenas aproximar o comportamento não linear real de peças e montagens. Na maior parte do tempo, essa aproximação é aceitável, e a análise linear pode fornecer uma percepção valiosa das características do produto. Entretanto, em muitos casos, as pressuposições lineares diferem muito da realidade e fornecem informações cruas ou erradas.


Usar os resultados da análise linear para decidir se uma peça falhará sob suas cargas operacionais poderá ocasionar em mudanças no projeto. Por exemplo, um projeto de suporte analisado apenas com a análise linear requer que o projetista se atenha a um requisito de que a tensão não deve exceder o escoamento. Mas a análise não linear pode mostrar que algum escoamento é aceitável.


Nesse caso, torna-se possível economizar na quantidade de material usado ou escolher um material mais barato sem comprometer a integridade estrutural. Um engenheiro pode ficar preocupado com uma deflexão muito grande de uma tela plana, segundo teste realizado com uma análise linear (para outro exemplo), e realizar mudanças no projeto dessa tela para compensar essa deflexão sem nunca saber que a análise linear acentuou as deformações e estava tudo certo conforme o projetado originalmente.




Análise não linear na prática diária em projetos


Quando um engenheiro ganha experiência suficiente para reconhecer os problemas não lineares, fica óbvio que a aplicação dessa tecnologia não fica confinada às situações exóticas. Projetos que requerem análise não linear ou podem se beneficiar bastante com ela em cada setor e em cada prática diária em projetos.


Aqui há vários exemplos de produtos em que a decisão de projeto correta requer análise não linear. Muitos desses problemas envolvem mais de um tipo de comportamento não linear.




Polia (Figura 17): Esta polia em aço estampado pode flambar sob a carga da correia antes de produzir tensões excessivas. Embora uma análise de flambagem linear possa ser suficiente para determinar a carga de flambagem, a análise não linear é necessária para estudar seu comportamento pós-flambagem.




Mola do diafragma (Figura 18): A característica da mola não linear requer uma análise de geometria não linear para considerar os efeitos da membrana.




Estrutura protetora de sobreposição (Figura 19): No caso de uma sobreposição, a estrutura deforma após o seu escoamento e absorve a energia da sobreposição. Durante esse processo, ela sofre uma grande deformação. Entender os efeitos da sobreposição requer a combinação de material não linear e análise de geometria não linear.




Fórceps obstétrico leve (Figura 20): O fórceps obstétrico leve foi projetado para se “moldar” ao redor da cabeça de um bebê durante o parto com a assistência de um fórceps. Se uma tração e/ ou compressão muito altas forem aplicadas, o fórceps foi projetado para sair da cabeça do bebê para impedir a ocorrência de ferimentos. A análise desse fórceps deve combinar material não linear e geometria não linear para considerar grandes deformações e material elástico não linear.




Grade do ventilador (Figura 21): Essa peça requer uma análise de geometria não linear devido às tensões da membrana que são produzidas durante o processo de deformação. Uma análise de material não linear também pode ser solicitada.




Anel de encaixe (Figura 22): Uma análise de geometria não linear é solicitada devido às grandes deformações. Esse anel pode ser também candidato a análise de material não linear.




Compartimento para bagagens de companhia aérea (Figura 23): Esse compartimento para bagagens de companhia aérea requer uma análise de geometria não linear devido aos efeitos da membrana nos painéis Lexan azuis. Além disso, a estrutura requer uma flambagem ou análise pós-flambagem.



Cadeira de escritório (Figura 24): Neste exemplo, grandes deformações da estrutura podem necessitar de uma análise de geometria não linear. O assento e o seu encosto requerem geometria não linear e análise de material não linear.




Chave Allen (Figura 25): O contato entre a chave e o parafuso Allen necessita de uma análise de tensão de contato.




CONCLUSÃO


A natureza dos problemas de análise encontrados frequentemente deve ser o padrão de medida pelo qual se justifica uma decisão de adicionar recursos de análise não linear ao software de FEA do engenheiro. Se o trabalho diário precisar de análises não lineares apenas ocasionalmente, o melhor será pedir ajuda de um analista dedicado ou contratar um consultor. Se, devido à natureza dos produtos projetados, os problemas de análise de projeto rotineiramente envolverem grandes deformações, efeitos na membrana, material não linear, tensões de contato, flambagem ou suportes não lineares, os recursos de análise não lineares deverão ser adicionados ao software de FEA interno destinado ao uso por engenheiros de projeto.


Os últimos dez anos condicionaram os engenheiros a usa FEA como uma ferramenta de projeto. Agora, o software de FEA e o hardware de computadores sofreram avanços suficientes para que a análise não linear possa ser adicionada às suas caixas de ferramentas.




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Texto extraído do documento "Dados sobre a análise não linear. Documento técnico", desenvolvido pela Dassault Systemes SolidWorks e disponibilizado para os VARs da SolidWorks.

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